দুইটি সেট যদি নিম্নলিখিত ভাবে প্রকাশ করা হয়-X = $\{x:x^3-3x^2+3x-1=0\}$ এবং $Y=\{x:x\in Rx,3$ দ্বারা বিভাজ্য} তাহলে $X\cap Y=$ কত?

দুইটি সেট X এবং Y দেওয়া আছে। প্রথমে, আমরা সেট X এবং Y এর উপাদানগুলো নির্ণয় করব, তারপর তাদের ছেদ (intersection) বের করব।

সেট X নির্ণয়:

সেট X এর সংজ্ঞা হলো:

\(X = \{x : x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0\}\)

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: \(x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0\)

এটি একটি সুপরিচিত বীজগাণিতিক সূত্র, \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

এখানে \(a=x\) এবং \(b=1\)। সুতরাং, সমীকরণটিকে লেখা যায়:

\((x-1)^3 = 0\)

উভয় পাশে ঘনমূল (cube root) নিলে পাই:

\(x-1 = 0\)

\(x = 1\)

সুতরাং, সেট X এর একমাত্র উপাদান হলো 1।

\(X = \{1\}\)

সেট Y নির্ণয়:

সেট Y এর সংজ্ঞা হলো:

\(Y = \{x : x \in R, x \text{ , } 3 \text{ দ্বারা বিভাজ্য}\}\)

এর অর্থ হলো, Y সেটে সকল বাস্তব সংখ্যা (real numbers) থাকবে যা 3 দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, 3 এর গুণিতক (multiples) সংখ্যাগুলো।

উদাহরণস্বরূপ: \(\{..., -6, -3, 0, 3, 6, ...\}\)

\(X \cap Y\) নির্ণয়:

\(X \cap Y\) মানে হলো সেট X এবং সেট Y এর সাধারণ উপাদানসমূহ (common elements)।

আমরা পেয়েছি \(X = \{1\}\) এবং \(Y = \{..., -6, -3, 0, 3, 6, ...\}\)

এখন, আমরা দেখব X সেটের উপাদানটি (অর্থাৎ 1) Y সেটের সদস্য কিনা।

1 কি 3 দ্বারা বিভাজ্য? না, 1 সংখ্যাটি 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

যেহেতু 1, Y সেটের সদস্য নয়, তাই X এবং Y এর মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান নেই।

সুতরাং, \(X \cap Y\) একটি ফাঁকা সেট (empty set)। ফাঁকা সেটকে \(\emptyset\) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

\(X \cap Y = \emptyset\)

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, দ্বিতীয় অপশনটি \(\emptyset\) নির্দেশ করে, যা সঠিক।